【八年级】以截长补短为背景的探究，考查全等三角形，一题顶十题！

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学霸数学，让你更优秀！ 【问题引入】在一节数学课上，王老师给出一道题：如图 1 ，在 ABC 中， AB=AC ，点 D 是线段 AC 上一点，连接 BD ，在 BD 延长线上取一点 M ，使 ∠ BMC= ∠ BAC ，作 AN ⊥ BD 垂足为点 N ，求证： BN=CM+MN ① 如图 2 ，小明认为在 BD 上截取 BP=CM ，连接 AP ，只要探究线段 MN 和线段 PN 之间的数量关系即可； ② 如图 3 ，小强认为：作 AQ ⊥ CM 交 CM 延长线于点 Q ，只要探究线段 BN 和线段 CQ 之间的数量关系即可； 请你选择一名同学的解题思路，并完成他们的证明过程； 【类比】 王老师发现这两名同不都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系，为了帮助学生更好的感悟转化思想，王老师又提出了下面的问题，请你解答 如图 4 ，在 Rt △ ABC 中， AB=AC ， ∠ BAC=90 ° ， BD 平分 ∠ ABC 交 AC 于点 D ，作 AF ⊥ ………………………………