哥德尔：康托的连续统问题是什么？（重磅长文）

主要观点总结

康托的连续统问题探讨在欧几里得空间中直线上点的数量，等价于不同整数集合的存在数量。康托定义无限数具有唯一性，通过一一对应关系定义数之间相等性，并扩展到无限数的“更大”和“更小”定义。虽然康托集合论发展多年，连续统问题的确切答案和连续统假设的验证仍未知。尽管康托的连续统假设得到部分支持，但无法证明连续统的势或其子集满足特定条件。康托连续统问题实质上是关于基数“乘法表”的问题，但目前无法为无限积分配上界。尽管连续统问题的精确解决在数学上存在困难，但通过对集合论基础的分析和深入，可能发现新公理以解决康托猜想。

关键观点总结

关键观点1: 康托的连续统问题

探讨在欧几里得空间中直线上点的数量，等价于不同整数集合的存在数量。

关键观点2: 康托定义无限数的唯一性

通过一一对应关系定义数之间相等性，并扩展到无限数的定义。

关键观点3: 康托连续统假设的验证

尽管得到部分支持，但无法证明连续统的势或其子集满足特定条件。

关键观点4: 连续统问题的实质

实质上是关于基数“乘法表”的问题，但目前无法为无限积分配上界。

关键观点5: 寻找新公理解决康托猜想

通过对集合论基础的分析和深入，可能发现新公理以解决康托猜想。

文章预览

转自公号哲学门 康托的连续统问题是什么？ （1964） 哥德尔 [本文是对 Gödel 1947 的修订和扩展版本。1947 和 1964 的导言见第 154 页，紧接在 1947 之前。] 1. 基数概念 康托的连续统问题实际上就是问：在欧几里得空间中的一条直线上有多少个点？一个等价的问题是：存在多少个不同的整数集合？ 当然，这个问题只有在“数”的概念被扩展到无限集合之后才会出现；因此，有人可能会质疑这种扩展是否能够以一种唯一确定的方式实现，从而怀疑以上述简单术语表述问题是否合理。然而，进一步的检查表明，康托关于无限数的定义确实具有这种唯一性。无论“数”在应用于无限集合时意味着什么，我们都希望它具有这样一种性质，即属于某个类的对象数量在这些对象保持不变的情况下，不会因其属性或相互关系（例如颜色或空间分布）的任何变化而改变 ………………………………