源自教材的一道综合探究，考查方式让多数同学直呼想不到！

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学霸数学，让你更优秀！ 问题背景： 苏科版八年级下册数学教材第 95 面 “ 探索研究 ” (1) 如图 1 ，正方形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，正方形 A ′B′C′D′ 的顶点 A′ 与点 O 重合，将正方形 A ′B′C′D′ 绕点 A′ 旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积是正方形 ABCD 面积的 _________ 问题迁移： 等边三角形 ABC 的中线 AD 、 CH 相交于点 O ，先将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 α(0再沿线段 OA 方向平移，得到 △O′A′B′ ，点 O 、 A 、 B 的对应点分别为 O ′ 、 A′ 、 B′ ，且 OO′= k O′A, 在这个过程中， △OAB 的边 O ′A′ ， O′B′ 所在射线分别交 AB 、 BC 于点 M 、 N 如图 2 ，当 O 与 O ′ 重合时，求证： O′M=O′N; 如图 3 ，当 k = 时，判断 O′M 与 O′N 之间的数量关系，并说明理由； 问题拓展： 如图 4 ，连接 MN ，记 △ABC 周长为 p , 在 α ， ………………………………