用复数的思想把正整数分解成平方数之和【2023剑桥大学STEP 2 第7题】

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今天分享 2023 年剑桥大学 STEP 2 的第 7 题．本题可以很好地锻炼 “数感”． 题目 （1）设复数 和 都是复数， ， ．证明 ． （2）通过考虑复数 和 ，求一组正整数 和 使得 ． （3）求一组正整数 ， 使得 ． （4）已知 ．求一组正整数 和 使得 ． （5）求三组不同的正整数 和 ，使得 且 ． （6）已知 ．求一组正整数 和 使得 ． 英文原题： 解答 （1）因为 所以 ． 受（1）证明过程的启发，在求解形如 的方程时，可以用复数去考虑．（1）中已有 （2）想办法找 使得 ， ， ， ． 注意到， ， ，那么在复数 和 中，未知量 的取法就很明确了． 取 ， ，则 ，而另一方面， 所以 ，从而可以取 ， ． 注： 事实上，如果取 ， ，那么 ．所以 所以 ， 是另外一组解． （3） ． 取 ， ，则 ， ．所以取 ， ，那么 注： 通 ………………………………