数学工具 - 交换求和次序

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内容来自B站PiKaChu345的笔记（BV1Ep4y1o7xW）。原视频还有很多精彩的例子，很有趣的数学问题！ 一个问题 问题如下： 求解： 将原问题条件写为求和形式如下： 条件为 （1）式中 。根据级数求和的知识我们知道，这个条件刚好对应着 收敛的条件，所以可以将其展开为 那么（1）式就可以写为 写到这里，最精彩的一点，可以把两个求和顺序交换了！ 由此可以得到 对比一下发现内部这个求和就是想要证明的式子，这个式子需要存在一个0到1的零点。可以用反证法，假设不存在0到1的零点，那么根据介值定理，对于任意0到1的y，都有 （或者都大于0，这里以小于0为例）。由于 ，此时（2）式一定小于0，矛盾，因此假设不成立，存在零点。 数学工具 以上例子提供了一个可以广泛应用的数学求解思路，即求和时可以转换求和顺序得到意想不到的求解。 确 ………………………………