伯特兰悖论——从直觉到数学的跃迁

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数学史上有这么一道题，居然用不同的思路去解，会得到不同的答案，而且几个答案都很有道理。 这是1889年，由法国数学家 约瑟夫·伯特兰 （ Joseph Louis François Bertrand ）在著作《概率的计算》（ Calcul des probabilités ）中提出的有关概率的问题，被称为“ 伯特兰悖论 ”（ Bertrand Paradox ），又称“ 贝特朗悖论 ”。 这究竟是怎么一回事？ 题目是这样的： 有一个内接于圆的正三角形，如果在圆上随机画一条弦，那么这条弦比正三角形的边长更长的概率是多少？ 第一种思路： 固定弦的一个端点，那么另一端点可以在圆周上任意选择，不妨将固定点选在正三角形一个顶点上，那么另一端点只有落在三角形另两个顶点之间的劣弧上，才能保证弦长满足要求，所以这种方法得到的概率是1/3。 第二种思路： 选择圆的一条直径，然后过该直径上任意一点作垂线 ………………………………