美国数学月刊上的立体几何问题

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今天分享美国数学月刊上的一个立体几何问题．假如现在的新高考数学压轴题是一个解三角形 立体几何结合的压轴题，可能会是什么样呢？ 题目 设 四面体 满足 , , 两两垂直， 是 的外心， 是 外接圆半径． 证明： 是定值． 解答 思路1：解析法（Fiddie） 以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ． 因为 在平面 内，所以 ，即 ， 其中， 且 ． 又因为 是 的外心，所以 ，即 由三个式子可得 因此， 且 对上述三式相加可得 ，所以 所以， 下面用 表示 ． 在 中，记角 的对边分别为 ，其中 由余弦定理， ， 所以 依正弦定理， ，整理得 注： 一般的三角形的外接圆半径也可用这样的方法推导． 所以，两边平方并把括号展开（一部分）可得 红色的部分恰好和前面的一个红色式子相同！太巧了．所以， 证 ………………………………