从极限到光滑：数学分析核心概念全解析

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从极限到光滑：数学分析核心概念全解析 一、极限：数学分析的基石 通俗解释 ： 极限描述了一个函数值随着自变量无限接近某一点时的“趋势”。例如，当   无限靠近 2 时，  的值会无限接近 4，即使   永远不等于 2。 数学定义（ε-δ语言） ： 对于函数  ，若对任意  ，存在  ，使得当   时， ，则称   时，  的极限为  ，记作： 左极限与右极限 ： 左极限 （ ）：仅从左侧靠近   时的极限，记为  。 右极限 （ ）：仅从右侧靠近   时的极限，记为  。 极限存在的充要条件 ： 函数在   时的极限存在的充要条件是左右极限存在且相等： 二、连续性与左右极限 通俗解释 ： 连续性意味着函数图像在某点无断裂。例如，匀速运动的位移-时间曲线是连续的。 严格定义 ： 函数   在   处连续需满足：  存在  存在 必要条件 ： 连续性以极限 ………………………………