概率统计“新定义”你会做吗？2022 年剑桥大学STEP3第11题

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今天分享 2022 年剑桥大学 STEP3 考试的第 11 题．本文的内容包括： 概率统计相关的“新定义”——平均偏差； 概率公式的证明； 组合恒等式证明． 目录： 一、前言 二、题目 三、解答 四、补充说明 一、前言 本题的主要结论是：设 是正整数， ，随机变量 用于刻画 的平均偏差(mean deviation)，则 其中 是正整数． 注： 设随机变量 ，我们熟知 其实就是随机变量 的 方差 ．与方差一样，平均偏差也是用来刻画随机变量离散程度的一个指标． 一组数据 的方差定义为 平均偏差定义为 平均偏差也可以用来刻画一组数据 的离散程度． 二、题目 抛掷一个均匀硬币 次，记随机变量 为正面朝上的次数．定义 的 平均偏差 为 其中， 是 的均值，即 ． （1）设 ， 是正整数．       （ⅰ）证明： ．       （ⅱ）证明： ．        ………………………………