原创百题17——方差变化的深层探寻，竟比高考压轴题更难

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昨天发了一道跟方差有关的题目，尽管投票中很多人说会做，给出完整解答的只有一位同学。 该题目探索了一个很有意思的问题：假如去掉一些样本，能保证方差不减少，那应该去掉哪些样本？直观上， 应该去掉“中间”的样本。 事实上也是如此，我们必须去掉最中间的样本。这还不够，第二问揭示了去掉的样本在n+1两侧一样多。 ‍ ‍ ‍ 第三问刻画了去掉的样本的“ 集中性”，也就是说这些去掉的样本应该比原样本更集中，因此方差才会更小。 ‍ ‍ ‍ ‍ 标答对于第三问有两个做法： 第一个做法更为本质，直接刻画了可去除子集S在[n+1+m, 2n+1]中的占比，并得到：S在这个集合中的占比，不高于S在[1,2n+1]中的占比。 也就是说，S在靠近两侧的地方密度更低。 第二个做法更为快捷，直接巧妙地选取样本xi，使得样本的方差和下标集的方差直接挂钩 ………………………………