正态分布(Normal Distribution)公式为什么长这样？

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本文作者：  Long Luo 本文链接：  https://www.longluo.me/blog/2024/04/27/normal-distribution/ 相信大家或多或少都听过六西格玛( ) [^1] 这个词，六西格玛是指生产的产品中， 的产品是没有质量问题的，即只有 的不良率。 假如一家工厂生产某型号零件，零件的长度要求是 ，允许的标准差是 。根据 原则，零件规格允许的偏差范围是： 。 这意味着，零件长度超过 或低于 的概率是非常低的，约为 。如果工厂每天生产 100 万个零件，只允许有 个零件会超出 的范围，几乎可以忽略不计。因此，生产过程是极其稳定和可靠的，达到了六西格玛水平。 那么 中 的不良率来自哪里呢？ 学过中学数学都知道，在 正态分布 ( ) [^2] 中， 的数据位于平均值的一个标准差内， 位于两个标准差内， 位于三个标准差内，这也是著名的 68-95-99.7 Rule [^3] ，如下 ………………………………