随机游走问题

主要观点总结

本文介绍了随机游走问题，包括一维有边界和无边界的随机游走问题，以及高维随机游走问题的思考。通过分析和计算，文章指出甲虫在无限长的弯曲管子里随机游走最终回到起点的概率，以及不同维度空间中甲虫返回原点的概率。

关键观点总结

关键观点1: 随机游走问题介绍

最早由卡尔·皮尔逊提出，问题中甲虫在管子里随机游走，每次以一定概率向前或向后移动一步。

关键观点2: 一维有边界随机游走问题

关心的是游走者最终是否会到达边界点，以及到达边界点的概率是多少。通过分析和计算，可以得到游走者最终落入边界的概率。

关键观点3: 一维无边界随机游走问题

关心的是游走者是否能回到初始位置，以及回到初始位置的概率是多少。匈牙利数学家波利亚证明了甲虫能回到起点的概率是1。

关键观点4: 高维随机游走问题

甲虫在多个空间维度中随机游走，波利亚的研究表明，在二维空间中甲虫最终会回到起点的概率也是1，但在三维空间中，这个概率降低到了34%。

文章预览

引入 想象一只甲虫在一个弯曲的管子里, 假定管子是无限长的 , 这个小生物无休止的随机游走, 它每次在管子里随机的向前或向后移动一步. 最终它能回到起点的概率是多少？ [1] 这是著名的 “随机游走”(Random Walks)问题 . 最早是于1905年, 由卡尔·皮尔逊提出. 我们先简单来分析一下, 不妨将管子看成是一个整数轴, 甲虫在数轴上随机游走, 从 开始, 每一步都以 的概率移动 (向左)或 (向右). 那么5步以后, 它可能在哪些位置呢？ 若 步中有 步向左, 步向右, 不管先后顺序, 甲虫最终会落在 , 根据组合计数原理, 可知总共有 种方式即 条路径. 具体的是：左右右右右, 右左右右右, 右右左右右, 右右右左右, 右右右右左. 要正式定义甲虫走过的路径, 我们可以采用独立随机变量 , 每一个变量分别有 的概率为 , 或 . 更一般的, 一维随机游走问题可定义如下： 每过一个 ………………………………