一道复杂的美国数学邀请赛竞赛题

文章预览

又有一段时间没有分享数学了，手痒了，分享一道最近做过的数学竞赛题。这道题是上个世纪的老题，但思维方法值得学习。 题是这样的： Determine  x 2 + y 2 + z 2 + w 2   if 分析：这道题由四个方程组成的方程组，理论上四个方程解四个未知数是可以通过带入消元解出来的，但在考试的时候这样的硬算并不是个好方法，除非你的计算能力确实很逆天。所以应该寻找其他方法，通过观察方程组，发现每个方程的形式是一致的，不同的地方在于数字2，4，6，8不一样，因此可以将这四个数理解为一个一般方程的四个解，再通过方程根的关系解答。 这个一般的方程为： 该方程的四个解为：t=4，16，36，64。令： 将第一个方程两边同时乘以F(t)，可得： 其中： 且k=1，3，5，7。例如： P 1 (t)=(t-3 2 )(t-5 2 )(t-7 2 ) 因此下列式子成立： -(t-4)(t-16)(t-36)(t-64) 然后分别令t=1 ………………………………