与 24 / 67656 有关的数阵问题

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今天分享一个与数阵有关的问题，本题由 Fiddie 命制． 问题 题目： 给定一个数阵 这个数阵的构造方法如下： ①第一行是 ，第 行两端的数为 ， ； ②当 时，第 行的第 个数（ ）定义为它左上方数字的 倍与它右上方数字的 倍之和． 设第 行第 个数为 ．问题： （1）写出一组正整数 ， ，使得 ． （2）设 ，求第 行的第 2 个数； （3）证明：对任意正整数 ，第 行的所有数字之和为 ． 解答 由题意， ， ， 并且当 ， 时， ． 第（1）问解答 由条件， ． 因为 ， ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 另一方面，从数表可知 ，所以当 ， 时， 第（2）问解答 为方便起见，记 ， ． 则当 时， 其中 ．两边同除以 ，整理得 所以可以用累加法求出 的通项公式．将上式对 累加，可得 计算这个求和式可用高中阶 ………………………………